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109 | 2010
Annuaire du Collège de France 2008-2009
Résumé des cours et travaux 1009e année
Conférenciers invités

Motifs, réalisations et groupes de Galois motiviques

(cours Peccot)
Joseph Ayoub
p. 1027-1028

Texte intégral

1À la fin des années 90, dans leur article fondateur [6], Morel et Voevodsky ont introduit la théorie de la A1-homotopie, destinée à être pour les variétés algébriques ce qu’est la théorie de l’homotopie classique pour les variétés topologiques usuelles. Leur construction est naturelle et flexible, et le fait qu’on considère des variétés algébriques n’intervient qu’occasionnellement. Ainsi, on peut envisager d’appliquer leur méthode à d’autre types d’« espaces », et d’ailleurs ce point de vue est adopté dans loc. cit., où une grande partie de l’article est rédigée dans le cadre abstrait d’un site avec intervalle. On peut aussi faire les modifications nécessaires pour obtenir plutôt une théorie de la A1-homotopie stable ou même une théorie de la A1‑homologie.

2Dans ce cours, nous décrivons la version abélienne de la construction de Morel et Voevodsky qui conduit à la théorie de la A1-homologie. Comme dans [6], nous nous plaçons dans le contexte d’un site avec intervalle (éventuellement suspendu au sens de [7]). En fait, outre les variétés algébriques (et plus généralement les S‑schémas), nous avons en vue d’appliquer cette construction aux variétés analytiques sur un corps complet (archimédien ou pas). Dans le cas des S-schémas, la catégorie homotopique obtenue est notée DA(S). Lorsque le schéma de base est le spectre d’un corps k, cette catégorie est intimement liée à la catégorie DM(k) des motifs triangulés de Voevodsky ; en fait, souvent, elle lui est équivalente modulo torsion. Nous évoquons brièvement le formalisme des six opérations de Grothendieck pour ces catégories [1, 2] et nous faisons la liste des propriétés connues et des propriétés conjecturales.

3Dans le cas des variétés analytiques sur C, nous montrons que la catégorie homotopique obtenue est équivalente à D(Z), la catégorie dérivée des Z-modules. Cela conduit naturellement à une construction de la réalisation de Betti [3]. Dans le cas des variétés analytiques sur un corps k complet non-archimédien et d’égale caracteristique nulle, nous montrons suivant [4] que la catégorie homotopique obtenue est équivalente à une sous-catégorie pleine de DA(), où est le groupe multiplicatif sur le corps résiduel de k. Cela conduit naturellement à une construction des motifs limites, analogues motiviques des structures de Hodge limites.

4Comme application, nous proposons, suivant [5], une construction du groupe de Galois motivique Gmot(k) d’un corps k muni d’un plongement complexe. Nous donnons également une description par générateurs et relations de l’algèbre de ce groupe. Nous utilisons ensuite les réalisations non-archimédiennes pour définir des groupes de décomposition et des groupes d’inertie motiviques associés à des valuations d’origine géométrique.

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Bibliographie

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 [1] Ayoub J., « Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monte motivique, I », Astérisque, volume 314, Société Mathématique de France, 2007.

[2] Ayoub J., « Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monte motivique, II », Astérisque, volume 315, Société Mathématique de France, 2007.

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[3] Ayoub J., « Note sur les opérations de Grothendieck et la réalisation de Betti »,
À paraître dans Journal de l’Institut de Mathématiques de Jussieu.
DOI : 10.1017/S1474748009000127

[4] Ayoub J., « Motifs des variétés analytiques rigides », preprint.

[5] Ayoub J.,« Opérations sur l’homologie singulière des variétés algébriques et groupes de Galois motiviques », en préparation.

[6] Morel F. et Voevodsky (V.), « A1-homotopy theory of schemes », Publications Mathématiques de l’IHES, tomes 90 (1999), p. 45-143.

[7] Riou J., « Catégorie homotopique stable d’un site suspendu avec intervalle », Bull. Soc. Math. France, 135 (4), 2007, p. 495-547.

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Pour citer cet article

Référence papier

Cours et travaux du Collège de France. Annuaire 109e année, Collège de France, Paris, mars 2010, p. 1027-1028. ISBN 978-2-7226-0083-6

Référence électronique

Joseph Ayoub, « Motifs, réalisations et groupes de Galois motiviques », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 109 | 2010, mis en ligne le 25 juin 2010, consulté le 22 juillet 2014. URL : http://annuaire-cdf.revues.org/389

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Auteur

Joseph Ayoub

Chargé de recherches, université de Zurich (Suisse)

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Droits d’auteur

Collège de France

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