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109 | 2010
Annuaire du Collège de France 2008-2009
Résumé des cours et travaux 1009e année
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles

Théorie des nombres

Don Zagier
p. 111-123

Texte intégral

Cours : Topologie, combinatoire et formes modulaires

1Le cours de cette année (et son extension prévue pour l’année prochaine) avait pour but, comme son nom l’indique, de faire le lien entre des disciplines assez hétérogènes des mathématiques où interviennent des propriétés combinatoires d’un certain type. Ces liens apparaissent souvent en relation avec la physique quantique. Les deux axes principaux sont, d’une part, le lien entre les formes modulaires et la géométrie algébrique provenant de la symétrie miroir, qui se manifeste au travers des équations différentielles de type Picard-Fuchs, et, d’autre part, le lien entre l’arithmétique et la topologie, qui se manifeste au travers des invariants quantiques des variétés hyperboliques en dimension 3 et des nœuds.

2Dans cette première année on a surtout traité le premier de ces sujets. L’exemple-type du genre de relation cherchée est le lien entre les équations différentielles linéaires et les formes modulaires classiques, qui a déjà été discuté dans le cours de 2001-2002.

3Voir développement dans résumé complet ci-joint (document téléchargeable en format TEC ou PDF).

Cours à l’École normale supérieure : « Bouillon mathématique »

4Ce cours n’a pas eu lieu cette année.

Conférences invitées

5Osaka, Japon, septembre 2008 :Higher spherical polynomials. Conférence « Explicit Structures in Modular Forms and Number Theory », Kinki University.

Banff, Canada, septembre 2008 :Mock modular forms and BPS states (avec A. Dabholkar). Conférence « Number Theory and Physics at the Crossroads », Banff International Research Station for Mathematical Innovation and Discovery.

Oberwolfach, Allemagne, octobre 2008 :Teichmüller modular forms and their differential equations. Workshop sur « Geometry and arithmetic around hypergeometric functions », Mathematisches Forschungsintitut Oberwolfach.

Oberwolfach, Allemagne, octobre 2008 :Das Mysterium von q : Von q-Reihen in der Kombinatorik zu Quanteninvarianten von Knoten. Oberwolfach-Vorlesung (conférence spéciale annuelle), Mathematisches Forschungsintitut Oberwolfach.

Bonn, Allemagne, octobre 2008 : Die zwei Gesichter der Mathematik. Hirzebruch-Vorlesung, Universitätsclub Bonn, suivie d’une discussion podium avec l’écrivain H.M. Enzensberger.

Utrecht, Pays-Bas, janvier 2009 : New constructions of mock modular forms. Intercity Number Theory Seminar, Université d’Utrecht.

Lyon, février 2009 : Formes modulaires quantiques. Colloquium, Institut Camille Jordan, Université de Lyon I.

Lyon, février 2009 : Exemples anciens et récents de formes modulaires « mock ». Séminaire « Théorie des Nombres, Combinatoire, Structures Discrètes », Université de Lyon I.

Paris, février 2009 : Lucas et l’analyse indéterminée. Symposium international « La “Tour d’Hanoï”, un casse-tête mathématique d’Édouard Lucas (1842--1892) », Institut Henri Poincaré.

Fukuoka, Japon, mars 2009 :Modular properties of quantum invariants and other q-series. Conférence « Low dimensional topology and number theory », Université de Kyushu.

Groningen, Pays-Bas, avril 2009 :The riddle of the mock theta functions. 45e Congrès Mathématique Néerlandais, Université de Groningen.

Utrecht, Pays-Bas, avril 2009 : On a U(3,1)-automorphic form of Ferapontov and Odesskii. Aachen-Köln-Lille-Siegen Automorphic Forms Seminar.

Bonn, Allemagne, avril 2009 : 3-manifolds, quantum invariants and modularity. Bethe Colloquium, Bethe Center for Theoretical Physics.

Bonn, Allemagne, mai 2009 :Mock modular forms–theory and examples. Conférence « Mock Modular Forms », Max-Planck-Institut für Mathematik .

Bonn, Allemagne, mai 2009 : Quantum modular forms. Conférence « Mock Modular Forms », Max-Planck-Institut für Mathematik.

Bonn, Allemagne, juin 2009 :Mock modular forms: Two examples related to physics. International Workshop on Mirror Symmetry, Hausdorff Center for Mathematics.

Zürich, Suisse, juin 2009 : Applications of complex multiplication. Conférence plénière, « Diophantine Geometry into the Millennium », école Polytechnique Fédérale.

Woudschoten, Pays-Bas, juin 2009 : The Poisson transformation and principal series representations for SL(2,ℝ). Conférence internationale sur « The analytic theory of automorphic forms », Université d’Utrecht.

Lille, mai 2009 :Higher « Kronecker limit formulas » for real quadratic fields. Conférence « Activités additives et analytiques », Université de Lille I.

Bonn, Allemagne, juillet 2009 : Complex multiplication (2 conférences). Conférences pour membres de l’école doctorale « IMPRS », Max-Planck-Institut für Mathematik.

Oberwolfach, Allemagne, juillet 2009 : Diophant and seine Gleichungen. Conférence pour lycéens, Mathematisches Forschungsintitut Oberwolfach.

Autres missions et activités

6Amsterdam, Pays-Bas, février 2009 : International Advisory Committee du Center for Advanced Mathematical Sciences, American University of Beirut.

Bonn, Allemagne, mai 2009 : Co-organisateur de la conférence « Mock Modular Forms » à l’Institut Max Planck de Mathématiques.

Bonn, Allemagne, juin 2009 : Co-organisateur du « Mathematische Arbeitstagung 2009 » à l’Institut Max Planck de Mathématiques.

Oberwolfach, Allemagne, juillet 2009 : Co-organisateur du workshop « Explicit methods in number theory ».

Bonn, Allemagne, mai-juillet 2009 : Co-organisateur de l’activité « Dynamical Numbers » à l’Institut Max Planck de Mathématiques.

Publications et prépublications

7Exact and asymptotic formulas for un. Appendice à « Sequences of enumerative geometry : congruences and asymptotics », par D. Grünberg et P. Moree, Experim. Math., 17 (2008), 409-426 ; pp. 423-425.

8Quantum modular forms. À paraître dans la série « Clay Mathematical Proceedings » du CMI/AMS, 16 pages.

9Exact results for perturbative Chern-Simons theory with complex gauge group (avec T. Dimofte, S. Gukov et J. Lenells). Communications in Number Theory and Physics, 3 (2009), 363-443.

10Some questions and observations around the mathematics of Seki Takakazu (avec S. Wimmer-Zagier). À paraître dans les Proceedings of the International Conference on History of Mathematics in Memory of Seki Takakazu (1642?-1708), Springer, Tokyo, Japon, 20 pages.

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Pour citer cet article

Référence papier

Cours et travaux du Collège de France. Annuaire 109e année, Collège de France, Paris, mars 2010, p. 111-123. ISBN 978-2-7226-0083-6

Référence électronique

Don Zagier, « Théorie des nombres », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 109 | 2010, mis en ligne le 25 juin 2010, consulté le 31 juillet 2014. URL : http://annuaire-cdf.revues.org/233

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Auteur

Don Zagier

Professeur au Collège de France

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Droits d’auteur

Collège de France

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