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114 | 2015
Annuaire du Collège de France 2013-2014
Résumé des cours et travaux 114e année
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles

Théorie des nombres

Don Zagier
p. 111-124

Notes de la rédaction

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.

Texte intégral

Cours : Formes modulaires et représentations des groupes finis

1Il y a deux connexions frappantes entre la théorie des formes modulaires et la théorie des représentations des groupes finis.

2L’une des deux, connue sous le nom du « moonshine » (= alcool de contrebande ou idées farfelues) a commencé il y a 36 ans avec l’observation de John McKay que le nombre 196883, qui est la dimension de la représentation irréductible non-triviale la plus petite du groupe « Monstre », est en même temps 1 de moins que le premier coefficient de Fourier non-trivial de la fonction modulaire j(τ) = E4(τ)3/Δ(τ). Ceci a mené grâce aux travaux de Conway-Norton, Frenkel-Lepowsky-Meurman et Borcherds au développement d’une théorie très riche, liée aux algèbres vertex et à la théorie conforme des champs. Beaucoup plus récemment, en 2010, Eguchi, Ooguri et Tachikawa ont découvert une deuxième théorie « moonshine », reliant cette fois les coefficients d’une fausse forme modulaire avec les dimensions des représentations irréductibles d’un autre groupe simple sporadique, le groupe de Mathieu M24. Cette deuxième théorie, développée principalement par Cheng, Duncan et Harvey, et connue maintenant comme « umbral moonshine », est très étroitement liée au sujet du cours de l’année 2012-2013, et les fausses formes modulaires spéciales de bas niveau qui ont joué un rôle dans la théorie développée par Dabholkar, Murthy et moi-même, et exposée dans ce cours, se sont avérées être presque exactement les mêmes que celles qui apparaissent dans le umbral moonshine.

3Ce lien a été décrit brièvement dans le cours de cette année, mais le sujet principal était la deuxième connexion entre les deux domaines mentionnés, où il s’agit des liens entre les représentations des groupes symétriques et les formes quasimodulaires, et surtout d’un très beau théorème de Bloch et Okounkov qui généralise un résultat antérieur de Kaneko et moi-même, et dont on a donné dans le cours une exposition et une nouvelle démonstration, ainsi que des extensions liées à des problèmes provenant de la théorie des surfaces plates. On en donnera un résumé ici.

Rappels sur les représentations des groupes finis

4[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Revêtements des surfaces de Riemann et formule de Frobenius généralisée

5[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Représentations du groupe symétrique

6[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Revêtements ramifiés des tores et formes quasimodulaires

7[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Le théorème de Bloch-Okounkov

8[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Démonstration simple du théorème de Bloch-Okounkov

9[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Invariants des surfaces plates

10Les recherches décrites dans le cours de cette année forment une partie d’un projet actuel en collaboration avec Martin Möller (université de Francfort) sur les volumes des espaces de modules de différentielles holomorphes sur les surfaces de Riemann et leurs applications dans la théorie des surfaces plates (calcul des constantes de Siegel-Veech). Cette connexion, qui a été expliquée dans le cours mais qui sera omise ici, aurait été le sujet de la suite du cours si on m’avait accordé la possibilité de donner une telle suite.

Cours à l’Institut Max-Planck de mathématiques en Allemagne

11Du 15 avril jusqu’au 15 juillet, j’ai donné à l’Institut Max-Planck de mathématiques à Bonn un cours intitulé « Classical and higher spherical polynomials » dans lequel j’ai exposé la théorie classique des polynômes sphériques et la généralisation donnée par Ibukiyama et moi-même. Cette nouvelle théorie, qui avait été présentée dans une version préliminaire dans un cours antérieur au Collège de France (voir résumé 2006-2007), est maintenant complètement rédigée et a été soumise pour publication.

Conférences sur invitation

12Berlin, Allemagne, octobre 2013 : Multiple zeta values in mathematics and physics, Distinguished lecture, KOSMOS Summer University 2013.

Bures-sur-Yvette, novembre 2013 : Superstring amplitudes and multi-zeta values, Séminaire de physique et mathématique, Institut des Hautes Études Scientifiques.

Bonn, Allemagne, décembre 2013 : Lines on the Dwork quintic pencil and its higher degree analogues, Séminaire, Max-Planck-Institut für Mathematik.

Bonn, Allemagne, janvier 2014 : Ramanujans Erbe : Von Zahlentheorie und schwarzen Löchern, « Caesarium » (conférence annuelle grand public), Forschungszentrum Caesar.

Noordwijkerhout, Pays-Bas, janvier 2014 : Modulaire vormen, getaltheorie, monsters en zwarte gaten, Conférence plénière, Nationale Wiskunde Dagen (activité pour professeurs de lycée).

Utrecht, Pays-Bas, février 2014 : Higher spherical polynomials, Geometry and Algebra Seminar, Universiteit Utrecht.

Bonn, Allemagne, février 2014 : Modular embeddings of Teichmüller curves, Arithmetic Intersection theory and Shimura varieties, Hausdorff Research Institute for Mathematics.

Heidelberg, Allemagne, février 2014 : Multiple zeta values and string amplitudes, Mathematisches Kolloquium, Universität Heidelberg.

Heidelberg, Allemagne, février 2014 : Modular forms, finite groups, and physics, Gemeinsames Mathematik-Physik Kolloquium, Universität Heidelberg.

Cologne, Allemagne, février 2014 : Quasimodular forms and the holomorphic anomaly equation, Aachen-Köln-Lille-Siegen Seminar on Automorphic Forms.

Trieste, Italie, février 2014 : Lines on the Dwork quantic, Algebra and number theory seminar, International Center for Theoretical Physics.

Trieste, Italie, février 2014 : Higher rank zeta functions for curves over finite fields, Algebra and number theory seminar, International Center for Theoretical Physics.

Lille, mars 2014 : Higher spherical polynomials, Conference on Automorphic Forms, Lie Algebras and String Theory, Université Lille.

Atlanta, Georgia, États-Unis, mars 2014 : Real and finite multiple zeta values, Colloquium, Georgia Institute of Technology.

Londres, Angleterre, avril 2014 : From finite groups to modular forms, Conférence plénière, British Mathematical Colloquium.

Moscou, Russie, mai 2014 : Partitions and quasimodular forms, Workshop on Combinatorics of moduli spaces, cluster algebras, and topological recursion, French-Russian Poncelet Mathematics Laboratory et Steklov Mathematical Institute.

Bures-sur-Yvette, juin 2014 : Partitions, quasimodular forms, and Siegel-Veech constants, Conference on Algebra, Geometry and Physics : in honor of Maxim Kontsevich, IHES.

Genève, Suisse, juin 2014 : Kashaev invariants, Nahm sums, and modularity, Conference on Geometry, Quantum Topology and Asymptotics.

Tübingen, Allemagne, juillet 2014 : Differentialgleichungen, algebraische Geometrie und Zahlentheorie, Alexander-von-Brill-Kolloquium (conférence annuelle), Universität Tübingen.

Trieste, Italie, juillet 2014 : Finite multiple zeta values. II, Algebra seminar, International Centre for Theoretical Physics.

Bonn, Allemagne, juillet 2014 : Higher spherical functions and holonomic differential equations, Max-Planck-Institut für Mathematik.

Lyon, août 2014 : Partitions (3 conférences), 2014 Modern Mathematics Summer School for Students.

Bonn, Allemagne, septembre 2014 : Two proofs of the gamma conjecture for rank 1 Fano threefolds, Workshop on Motivic Structures on Quantum Cohomology and Pencils of Calabi-Yau Motives, Max-Planck-Insitut für Mathematik.

Autres missions et activités

13Bonn, novembre 2013 : Membre du jury, soutenance de thèse de mon élève doctorale Maryna Viazovska (« Modular Functions and Special Cycles »).

Bures-sur-Yvette, décembre 2013 : Membre du jury, habilitation de Francis Brown (« Périodes en arithmétique et théorie quantique des champs »), IHES.

Dublin, Irlande, mai 2014 : Réunion du Governing Board, School of Theoretical Physics.

Bonn, Allemagne, juillet 2014 : Participation au workshop « Dynamics and Numbers », Max-Planck-Institut für Mathematik.

Oberwolfach, Allemagne, août 2014 : Co-organisateur (avec P. Gunnells, W. Neumann et A. Sikora) du workshop « Low-dimensional topology and number theory ».

Publications et prépublications

14Zagier D. (avec A. Malter et D. Schleicher), New looks at old number theory, Amer. Math. Monthly, 120, 2013, 243-264.

Zagier D., Lines on the Dwork quintic pencil and its higher degree analogues, J. Differential Geometry, 97, 2014, 177-189.

Zagier D. (avec M. Atiyah), Friedrich Hirzebruch (1927-2012), Notices Amer. Math. Soc., 61, 2014, 706-727.

Zagier D., A Refinement of a Theorem of J.E. Littlewood, Amer. Math. Monthly, 121, 2014, 618.

Zagier D., Curious and exotic identities for Bernoulli numbers, Appendice au livre de T. Arakawa, M. Kaneko et T. Ibukiyama, Bernoulli Numbers and Zeta Functions, Springer Japan, Springer Monographs in Mathematics, 2014, 239-262.

Zagier D. (avec R. Bruggeman et J. Lewis), Period Functions for Maass Wave Forms and Cohomology, Memoirs of the AMS, 2015, 144 pages.

Zagier D. Partitions, quasimodular forms, and the Bloch-Okounkov theorem, The Ramanujan Journal (Special Issue Dedicated to the Memory of Marvin Knopp), à paraître, 19 pages.

Zagier D. (avec A. Dabholkar et S. Murthy), Quantum Black Holes, Wall Crossing, and Mock Modular Forms, Cambridge Monographs in Mathematical Physics, à paraître, 151 pages, arXiv:1208.4074.

Zagier D. (avec V. Golyshev), Proof of the gamma conjecture for Fano 3-folds of rank one, Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk, Seriya Matermaticheskaya, à paraître, 19 pages

Zagier D. (avec L. Weng), Higher rank zeta functions and Riemann hypothesis for elliptic curves, Soumis pour publication, 19 pages.

Zagier D. (avec T. Ibukiyama), Higher spherical polynomials, Soumis pour publication, 97 pages.

Zagier D., Genus 0 and genus 1 string amplitudes and multiple zeta values, Prépublication, 12 pages.

Zagier D. (avec M. Möller), Modular embeddings of Teichmüller curves, Prépublication, 84 pages, arXiv:1503.05690.

Zagier D. (avec L. Weng), Special uniformity of zeta functions : SLn-zeta functions for curves over finite fields, Prépublication, 15 pages.

Zagier D. (avec D. Chen et M. Möller), Quasimodularity and large genus limits of Siegel-Veech constants, Prépublication, 72 pages.

Zagier D. (avec N. Skoruppa et V. Gritsenko), Theta blocks, Prépublication, 25 pages.

Zagier D. (avec J. Stienstra), Quasimodular forms, bimodular forms, and the holomorphic anomaly equation, Prépublication, 24 pages.

Zagier D. (avec A. Popa), An elementary proof of the Hurwitz-Kronecker class number relations, Prépublication, 4 pages.

Zagier D. (avec S. Garoufalidis), Quantum modularity of the Kashaev invariants of knots, Prépublication, 10 pages.

Zagier D. (avec M. Kaneko), Finite multiple zeta values, Prépublication, 15 pages.

Zagier D. (avec D. Gaiotto), A mock modular form coming from Liouville theory, Prépublication, 10 pages.

Zagier D. (avec A. Popa), An elementary proof of the Eichler-Selberg trace formula, Prépublication, 8 pages.

Zagier D. (avec V. Golyshev), Apéry numbers of fractional index, Prépublication, 9 pages.

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Pour citer cet article

Référence papier

Annuaire du Collège de France 2013-2014. Résumé des cours et travaux 114e année, Paris, Collège de France, juillet 2015, p. 111-124. ISBN 978-2-7226-0414-8

Référence électronique

Don Zagier, « Théorie des nombres », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 114 | 2015, mis en ligne le 23 mai 2016, consulté le 25 septembre 2017. URL : http://annuaire-cdf.revues.org/11884

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Auteur

Don Zagier

Professeur au Collège de France

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